Задача 1. Длинный вязкоупругий стержень сначала падает на горизонтально расположенный цилиндр, отскакивает от него и затем падает на горизонтальную поверхность. Необходимо рассчитать координаты и скорости различных точек стержня в последовательные моменты времени.

Задача решается методом больших частиц, тело представим как совокупность материальных точек, взаимодействующих друг с другом с заданными силами притяжения, отталкивания и внутреннего трения (вязкоупругое взаимодействие). Силы притяжения и отталкивания между двумя частицами (без вязкости) рассчитываются так:

Здесь расстояние между частицами r и сила взаимодействия F заданы в условных единицах. Для нахождения силы вязкого трения определяют скорость смещения i-той частицы относительно каждой частицы, находящейся в ее окрестности, и вычисляют проекции r(l-s1[i,j])cosα/dt и r(l-s1[i,j])sinα/dt. Здесь α -- угол между прямой, соединяющей i-ую и j-ую частицы, и горизонтальной осью Ox. Тогда cosα=(x_i-x_j)/l, sinα=(y_i-y_j)/l.

В самом начале работы программа создает массив s[i,j], в котором сохраняются расстояния между частицами тела при отсутствии деформаций. Содержимое этого массива не изменяется. Состояние системы в последующие моменты времени рассчитываются в цикле по t Repeat ... until. На каждом временном шаге определяются проекции ускорения ax, ay, скорости vx, vy и координаты x, y всех частиц тела, а также определяются расстояния между ними, которые сохраняются в массиве s1[i,j]. Зная расстояния между i-той и j-той частицами в недеформированном и деформированном состояниях можно найти проекции силы упругости. Определив скорость из относительного смещения частиц, можно вычислить проекции силы вязкого трения.

Рис. 1. Силы, действующие на частицы тела.

При соударении линейки с горизонтально расположенным цилиндром на i-тую частицу, соприкасающуюся с цилиндром, действует сила F (рис. 1.2). В программе рассчитываются синус и косинус угла α между прямой, идущей от центра цилиндра к этой i-той частице, и горизонтальной осью Ox: cosα=(x₀-x_i)/r, sinα=(y₀-y_i)/r. Здесь r -- радиус цилиндра. Если i-тая частица приблизилась к точке O' на расстояние меньшее r, то программа "отодвигает" частицу на расстояние чуть большее r и уменьшает ее проекции скорости.

Программа ПР-1.

Используется программа ПР-1. Результаты моделирования движения вязкоупругого стержня при падении на цилиндр, а затем на горизонтальную плоскость представлены на рис. 1 и 2. На них показаны положения стержня в различные моменты времени и траектория одной из точек тела. Сначала стержень движется практически поступательно, после удара о цилиндр стержень подпрыгивает и совершает свободные колебания, изгибаясь в ту и другую стороны. Под действием силы тяжести центр масс стержня стремится занять самое низкое положение. Стержень переворачивается, соударяется с горизонтальной плоскостью, по нему бежит изгибная волна. Через некоторое время за счет действия сил вязкого трения система переходит в состояние покоя.

Рис. 2. Падение неупругого тела на цилиндр и поверхность.

Рис. 3. Падение неупругого стержня на цилиндр и поверхность.

Задача 2. Длинная упругая нить падает на горизонтально расположенный цилиндр, а затем соскальзывает на горизонтальную поверхность. Необходимо рассчитать координаты и скорости различных точек нити в последовательные моменты времени.

В предыдщей задаче стержень моделировался двумя рядами частиц, между которыми действовали вязкоупругие силы. Чтобы промоделировать нить достаточно рассмотреть один ряд частиц. Во всем остальном задача решается совершенно аналогично.

Программа ПР-2.

Используется программа ПР-2. На рис. 4 показано положение нити в различные моменты времени, а также траетория движения частицы с номером i=N. Видно, как нить охватывает цилиндр, затем соскальзывает с него на горизонтальную поверхность.

Рис. 4. Падение нити на горизонтальный цилиндр, а затем на поверхность.

Задача 3. Резиновое кольцо недевают на цилиндр (палец) и нижнюю часть растягивают силой, направленной вниз. Затем в момент t1 кольцо отпускают, а в момент t2 убирают цилиндр. Кольцо взлетает вверх. Необходимо промоделировать движение кольца.

Задача решается тем же способом, необходимо только изменить начальное расположение частиц и параметры системы. Чтобы промоделировать движение эластичного кольца следует уменьшить коэффициенты упругости и вязкого трения. Используется программа ПР-3, результаты расчета движения кольца приведены на рис. 5. Видно, что после отрыва от цилиндра центр масс кольца движется по параболе, а само кольцо периодически деформируется (совершает затухающие колебания на собственной частоте).

Программа ПР-3.

Рис. 5. Движение резинового кольца.

Задача 4. В двумерном сосуде с вертикальными стенками находится шарик (цилиндр, кольцо). Дно сосуда совершает гармонические колебания с заданными амплитудой и частотой. В верхней части сосуда находится горизонтально расположенный цилиндр. Необходимо рассчитать движение системы.

Для решения задачи необходимо правильно учесть взаимодействие шарика с колеблющимся дном. Это можно сделать разными способами, например так. Пусть ось OY направлена вниз; дно сосуда колеблется по закону y'(t)=400+2sin(ωt) и имеет большую массу. Тогда если вертикальная координата какой-либо i-той частицы тела yi окажется больше y'(t), то ее вертикальная проекция скорости будет равна -kviy+2ωcos(ωt), где k -- коэффициент восстановления при частично упругом ударе шара о дно сосуда. Горизонтальная проекция скорости тоже должна уменьшиться вследствие действия силы трения.

Программа ПР-4.

Используется программа ПР-4. На рис. 6 приведены типичные результаты моделирования, показаны положения шарика в различные моменты времени, а также траектория движения одной из его частиц. Видно, система находится в состоянии, которое называется динамический хаос.

Рис. 6. Движение шарика в сосуде с колеблющимся дном.

Задача 5. По внутренней поверхности вращающейся трубы радиуса R катится полый цилиндр (кольцо) радиуса r. Скорость вращения трубы изменяется по закону ω=ω(t). Между поверхностью трубы и цилиндром, а также в подшипниках O и A действует сила вязкого трения. Необходимо рассчитать движение системы.

Используется метод больших частиц, вместо кольца будем рассматривать совокупность частиц, связанных между собой вязкоупругими силами. Задача решается тем же методом, что и предыдущие. Используется программа ПР-5, результаты моделирования -- на рис. 7.

Программа ПР-5.

Рис. 7. Движение кольца (цилиндра) внутри вращающейся трубы.

Задача 6. Внутри вращающейся трубы находится тело кубической формы. Между поверхностью трубы и телом действует сила вязкого трения. Необходимо рассчитать движение системы в случае, когда корость вращения трубы изменяется по закону ω=ω(t).

Задача решается аналогично. Используется программа ПР-6. При увеличении скорости трубы кубик сначала находится в нижней ее части совершая кувырки вокруг своего центра масс, а затем прижимается центробежной силой к внутренней поверхности трубы и вращается вместе с ней (рис. 8). Программа позволяет определить угловую скорость w1 движения центра масс кубика относительно неподвижной системы отсчета, а также угловую скорость w2 вращения кубика вокруг своего центра масс.

Программа ПР-6.

Рис. 8. Движение куба внутри вращающейся трубы.

Получающиеся графики представлены на рис. 9. Видно, что угловая скорость w₁ совершает затухающие колебания относительно нулевого значения. Это объясняется тем, что изначально система находилась не в положении равновесия (кубик падал на внутреннюю поверхность вращающейся трубы левее вертикального осевого сечения). Так как кубик чаще вращается против часовой стрелки, то w₂ как правило положительна. Вертикальные участки графиков соответствуют моментам, когда кубик не скользит относительно трубы, а движется вместе с ней. В случае, когда кубик отрывается от внутренней поверхности трубы, его центр масс медленно движется вверх, затем вниз, а сам кубик вращается вокруг него с медленно уменьшающейся скоростью.

Рис. 9. Графики зависимостей угловых скоростей w_1z и w_2z от времени.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl1-11.pas.

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .